Wzór na liczbę przekątnych wielokąta

Wzór na ilość przekątnych w wielokącie Post autor: Rogal » 10 kwietniaZlodiej, widzisz to? Wzór na ilość przekątnych w wielokącie Post autor: Tomasz Rużycki » 10 kwietniaZastanów się ilę przekątnych można poprowadzić z jednego wierzchołka?

Pozdrawiam, -- Tomek Rużycki. Ale to też nie jest zbyt trudne. Po chwili stwierdzimy, że w sześciokącie liczba przekątnych wynosi 9.

Przekątne w wielokącie wzór

No tak, ale co dalej? E, będąc w punkcie E narysujemy ją jakby jeszcze raz jako przekątną EA. Czy już domyślasz się jak obliczyć ilość przekątnych w n-kącie foremnym? Mamy zatem wzór na ilość przekątnych w dowolnym n-kącie foremnym. Jaki to wielokąt? Wykorzystujemy wzór na liczbę przekątnych, ponieważ tę wielkość mamy podaną: Obliczamy powstałe równanie: Odpowiedź: Szukanym wielokątem jest dziesięciokąt.

Przykład 2.

Wzór na ilość przekątnych w wielokącie -

Suma miar kątów wewnętrznych pewnego wielokąta wynosi. Wykorzystujemy wzór na sumę miar kątów wewnętrznych, ponieważ tą wielkość mamy podaną: Odpowiedź: Szukanym wielokątem jest siedmiokąt. Wielokąty foremne Wielokąt foremny ma wszystkie boki tej samej długości i wszystkie kąty tej samej miary.

Czy są sposoby, aby wyznaczyć liczbę przekątnych dla wielokątów foremnych o bardzo dużej liczbie boków? Zaraz się przekonamy.

Liczba przekątnych w wielokącie. Przekątne to odcinki, które łączą dwa niesąsiednie wierzchołki w wielokącie. Wielokąt o n n bokach ma \frac {n (n-3)} {2} 2n(n−3) przekątnych. Na przykład w siedmiokącie (n = 7 n = 7) mamy \frac {n (n-3)} {2} =\ 2n(n−3) = \frac {7 ()} {2} =\ 27(7−3) = \frac {7\cdot 4} {2} =\ 27⋅4.

To pomyślmy, ile przekątnych ma dwunastokąt foremny? Jak znaleźć tę liczbę bez rysowania ich wszystkich? Zastanówmy się. Ile przekątnych można poprowadzić z jednego wierzchołka? Powiedzmy z tego. Przekątne prowadzimy do wszystkich wierzchołków wielokąta oprócz dwóch wierzchołków sąsiednich oraz rzecz jasna wierzchołka, z którego zaczynamy.

Czyli prowadzimy do wszystkich wierzchołków oprócz trzech. Ile jest wierzchołków w dwunastokąciekącie foremnym? Od 12 odejmujemy 3 i otrzymujemy, że z jednego wierzchołka możemy poprowadzić 9 przekątnych.

Wzór na liczbę przekątnych

Tak, jak zostało to pokazane na rysunku. No dobrze. Wiemy, że tyle można poprowadzić z jednego wierzchołka. To ile przekątnych możemy poprowadzić ze wszystkich wierzchołków dwunastokąta? Musimy przemnożyć 9 przez liczbę wierzchołków, czyli A 12 razy 9 to To bardzo dużo, prawda? Ale zauważ, że niektóre przekątne będą pokrywać się ze sobą.

Na przykład z tego wierzchołka poprowadzimy jeszcze jedną przekątną do tego wierzchołka. Każda przekątna łączy dwa wierzchołki.

Ile przekątnych ma sześciokąt

Więc mnożąc liczbę wierzchołków przez liczbę przekątnych wychodzących z jednego wierzchołka każdą z nich policzymy dwa razy. Dlatego wynik musimy podzielić przez 2.

Ostatecznie otrzymujemy że w dwunastokącie foremnym są 54 przekątne. Oto wszystkie przekątne dwunastokąta foremnego. Byłyby spore problemy z policzeniem ich wszystkich. Prześledźmy nasz wywód krok po kroku. Najpierw policzyliśmy ile przekątnych wychodzi z jednego wierzchołka. Potem policzyliśmy ile przekątnych wychodzi ze wszystkich wierzchołków a otrzymaną liczbę ostatecznie podzieliliśmy przez 2.

A co gdybyśmy chcieli policzyć liczbę przekątnych w dowolnym wielokącie? Na przykład takim który ma n boków?